Aufgaben
- Machen Sie sich mit dem Szenario in M1 vertraut.1
- Die Anfangs- und die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der „ein Erwachsener“ wirft, ist unterschiedlich. Benennen Sie hierfür einen plausiblen Grund.
- Stellen Sie den Unterschied zwischen der Geschwindigkeit in den ersten vier Sekunden und der Durchschnittsgeschwindigkeit bis das Aufräumen heraus. Erklären Sie, warum von einer „Annäherung an die Anfangsgeschwindigkeit“ gesprochen wird.
- Erläutern Sie wie man vorgehen müsste, um die Geschwindigkeit in einem beliebig kleinen Zeitintervall („Momentangeschwindigkeit“) zu bestimmen (Tipp: Mathematik; Ableitung). Sie können hier ein zeichnerisches Vorgehen beschreiben.
- Formulieren Sie Antworten zu den beiden Fragen in den Gedankenblasen.
Anregungen und Lösungen
Dies liegt nicht daran, dass Mama oder Papa müde werden. Gehen Sie davon aus, dass beide immer gleich schnell im Zimmer umher laufen und zählen Sie die Bälle außerhalb des Laufstalls.
Schaue in das Diagramm: In den ersten vier Sekunden werden 18 Bälle in den Laufstall geworfen, also 4,5 Bälle pro Sekunde (18/4). In den folgenden sechs Sekunden danach sind es nur 12 weitere, also 2 Bälle pro Sekunde (12/6).
Betrachtet man die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Zeit, werden in 10 Sekunden alle 30 Bälle in den Laufstall gebracht, somit durchschnittlich 3 Bälle pro Sekunde (30/10).
Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, müsste man das Zeitintervall immer kleiner machen.
Da die Bälle, die geworfen werden, kreuz und quer verteilt sind, wird immer eine unterschiedliche Zeit benötigt, um den nächsten Ball zu greifen und zu werfen. Zu Beginn sind viele Bälle rund um Papa oder Mama herum, so dass wenig Zeit benötigt wird diese zu greifen. Später müssen sich Mama oder Papa jedoch vom Fleck bewegen, um Bälle zu werfen, die weiter weg sind. Dadurch ist die Wurfgeschwindigkeit anfangs höher als am Ende.
Man spricht von einer Annäherung an die Anfangsgeschwindigkeit, weil das Zeitintervall mit t1 = 0 s beginnt. Es beinhaltet folglich die momentane Geschwindigkeit des Anfangs. Allerdings ist auch dieses Zeitintervall noch groß gewählt. Bereits innerhalb der ersten Sekunde wird die Geschwindigkeit fallen! Wollte man die Anfangsgeschwindigkeit exakt bestimmen, müsste man das Zeitintervall zu Beginn infinitesimal klein wählen.
Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, müsste man das Zeitintervall immer kleiner machen. Dadurch würde das Steigungsdreieck immer kleiner.
Mathematisch müsste man die Steigung der Tangente in einem Punkt am Graphen ermitteln. Dazu kann man sich nun der Ableitung bedienen, wenn man die Funktion zum Graphen kennt.
Eine Analogie: Am Morgen im Kinderzimmer
Beispiele für Geschwindigkeiten auf Teilchenebene
Stellen wir uns vor, morgens betritt eine erwachsene Person das Kinderzimmer und will noch schnell das Chaos beseitigen. Heute ist es zufällig „Papa“.
Was für uns als Beobachtende des Szenarios ganz praktisch ist: Alle Bälle, die Papa wirft, werden rot. So können wir ihren Weg besser verfolgen.
Aufräumaktion im Kinderzimmer2
Gestern war übrigens „Mama“ vor Ort. Sie ist genauso agil wie „Papa“ beim Aufräumen.
Die dazu gehörigen Daten
Es ließe sich eine umfangreichere Wertetabelle erstellen, wenn wir zu mehreren festgelegten Zeitpunkten die Bälle im Laufstall zählen:
Wertetabelle zur fiktiven Aufräumaktion3
Die Geschwindigkeit v (von engl. velocity), mit der hier geworfen wird, ergibt sich aus der Anzahl der Bälle pro Zeit. Die Zeitintervalle kann man beliebig wählen.
Ein Zeitintervall beim Aufräumen im Kinderzimmer3
Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass „Papa“ nicht immer mit der gleichen Geschwindigkeit wirft. Anfangs z. B. wirft er mit v = 5 Bälle/s, im Durchschnitt aber mit 3 Bälle/s.
Diversen Geschwindigkeiten beim Aufräumen3
Abstraktion der Daten
Allgemein gilt, dass im Zeitintervall t1 bis t2 die Anzahl y2 – y1 Bälle geworfen werden. Die Geschwindigkeit ist folglich:
Das kann man auch grafisch darstellen. Die Geschwindigkeiten ergeben sich aus dem Steigungsdreieck, das Ihnen bereits aus der Mathematik bekannt ist.
Diagramm zum Aufräumen im Kinderzimmer3
Beispiele für Geschwindigkeiten auf Teilchenebene
Stellen wir uns vor, morgens betritt eine erwachsene Person das Kinderzimmer und will noch schnell das Chaos beseitigen. Heute ist es zufällig „Mama“.
Was für uns als Beobachtende des Szenarios ganz praktisch ist: Alle Bälle, die Mama wirft, werden rot. So können wir ihren Weg besser verfolgen.
Aufräumaktion im Kinderzimmer2
Gestern war übrigens „Papa“ vor Ort. Er ist genauso agil wie „Mama“ beim Aufräumen.
Die dazu gehörigen Daten
Es ließe sich eine umfangreichere Wertetabelle erstellen, wenn wir zu mehreren festgelegten Zeitpunkten die Bälle im Laufstall zählen:
Wertetabelle zur fiktiven Aufräumaktion3
Die Geschwindigkeit v (von engl. velocity), mit der hier geworfen wird, ergibt sich aus der Anzahl der Bälle pro Zeit. Die Zeitintervalle kann man beliebig wählen.
Ein Zeitintervall beim Aufräumen im Kinderzimmer3
Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass „Mama“ nicht immer mit der gleichen Geschwindigkeit wirft. Anfangs z. B. wirft sie mit v = 5 Bälle/s, im Durchschnitt aber mit 3 Bälle/s.
Diversen Geschwindigkeiten beim Aufräumen3
Abstraktion der Daten
Allgemein gilt, dass im Zeitintervall t1 bis t2 die Anzahl y2 – y1 Bälle geworfen werden. Die Geschwindigkeit ist folglich:
Das kann man auch grafisch darstellen. Die Geschwindigkeiten ergeben sich aus dem Steigungsdreieck, das Ihnen bereits aus der Mathematik bekannt ist.
Diagramm zum Aufräumen im Kinderzimmer3
Aufgaben zur Fortsetzung
- Erstellen Sie aus der Tabelle 4 einen Graphen mit Hilfe von M3 und speichern Sie diesen als Bild ab.
- Ermitteln Sie zeichnerisch und durch Berechnung die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der das Baby geworfen hatte, bis es fertig wurde.
- Versuchen Sie, die Anfangsgeschwindigkeit möglichst exakt zu ermitteln und ordnen Sie das Bild „wenig später“ aus Galerie 2 einem Zeitintervall zu.
- Vergleichen Sie beide Szenarien in M1 „am Morgen“ und M2 „nachmittags“ und stellen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten bei den Geschwindigkeiten heraus.
Anregungen
Durchschnittsgeschwindigkeit:
Die Geschwindigkeit ist negativ. Für eine Reaktionsgeschwindigkeit bedeutet dies, dass die Konzentration des Stoffes, dessen Reaktionsgeschwindigkeit betrachtet wird, abnimmt.
Annäherung an die Anfangsgeschwindigkeit:
Der Zeitpunkt „wenig später“ ist dem Zeitintervall t2 -> t3 zuzuordnen, da bereits acht Bälle auf dem Boden liegen und weitere vier gerade durch die Luft fliegen. Außerdem fliegen in dem Intervall 4 Bälle aus dem Stall raus und es gilt:
- Gemeinsam ist beiden Szenarien, dass der Betrag der Geschwindigkeit mit der Zeit abnimmt. Sowohl Mama als auch das Baby werfen am Anfang schneller als am Ende und damit auch im Durchschnitt.
- Die Mama kann aber insgesamt schneller werfen als Baby.
- Da die Mama die Bälle hineinwirft, das Baby aber heraus, haben die Geschwindigkeiten ein unterschiedliches Vorzeichen.
Fortsetzung der Analogie: Am Nachmittag im selben Kinderzimmer
Weiteres
Am Nachmittag ist das Baby alleine im Kinderzimmer und stellt „die alte Ordnung“ wieder her. Für uns ganz praktisch: alle Bälle, die das Baby wirft, werden rot.
nachmittags im Kinderzimmer4
Die dazu gehörigen Daten
Auch hier ließe sich eine Wertetabelle erstellen, wenn wir zu mehreren festgelegten Zeitpunkten die Bälle im Laufstall zählen:
Wertetabelle zur fiktiven Aufräumaktion3